A*是n阶方阵A的伴随阵,|A|=1/2,求(2A*)*

题目

A*是n阶方阵A的伴随阵,|A|=1/2,求(2A*)*

答案

1.因为对任意n阶方阵A,(kA)* = k^(n-1)A*
所以对 A* 有 (2A*)* = 2^(n-1)(A*)*
2.因为对任意n阶方阵A,AA* = |A|E
所以对A*有 A*(A*)* = |A*|E
两边左乘A得 AA*(A*)* = |A*|A
又因为 |A*| = |A|^(n-1)
所以 |A| (A*)* = |A|^(n-1) A
所以 (A*)* = |A|^(n-2)A = (1/2)^(n-2)A
所以 (2A*)* = 2^(n-1)(A*)*
= 2^(n-1)(1/2)^(n-2)A
= 2A.