代数结构习题求教：H是G的正规子群,[G:H]=m.证明：对于G的任意元素x,x^m∈H.

题目

代数结构习题求教：H是G的正规子群,[G:H]=m.证明：对于G的任意元素x,x^m∈H.

答案

嗯,看见代数结构习题,我就这么想了...
证明:
因H正规,[G:H]=mG/H,可知ker(f)=H.f将aiH映为G/H的元素.于是对任意x∈G.
f(x^m)=f(x)^m=e.这表明x^m∈ker(f)=H.
证毕.
其实说这么多,只有倒数第三行是主要的...