如图,△ABC是边长为3的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,使其两边分别交AB于M交AC于点N,连接MN,则△AMN的周长为(  ) A.5 B.6 C

如图,△ABC是边长为3的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,使其两边分别交AB于M交AC于点N,连接MN,则△AMN的周长为(  ) A.5 B.6 C

题目
如图,△ABC是边长为3的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,使其两边分别交AB于M交AC于点N,连接MN,则△AMN的周长为(  )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
答案
∵△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,
∴∠BCD=∠DBC=30°,
∵△ABC是边长为3的等边三角形,
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°,
∴∠DBA=∠DCA=90°,
延长AB至F,使BF=CN,连接DF,
在△BDF和△CND中,
BF=CN
∠FBD=∠DCN
DB=DC

∴△BDF≌△CND(SAS),
∴∠BDF=∠CDN,DF=DN,
∵∠MDN=60°,
∴∠BDM+∠CDN=60°,
∴∠BDM+∠BDF=60°,
在△DMN和△DMF中,
DM=MD
∠FDM=∠MDN
DF=DN

∴△DMN≌△DMF(SAS)
∴MN=MF,
∴△AMN的周长是:AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6.
故选B.
要求△AMN的周长,根据题目已知条件无法求出三条边的长,只能把三条边长用其它已知边长来表示,所以需要作辅助线,延长AB至F,使BF=CN,连接DF,通过证明△BDF≌△CND,及△DMN≌△DMF,从而得出MN=MF,△AMN的周长等于AB+AC的长.

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此题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质;主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等,构造另一个三角形是解题的关键.

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