高等代数:Hamilton Cayley定理有什么作用?

题目

高等代数:Hamilton Cayley定理有什么作用?
"方阵A的特征多项式是A的零化多项式"
这个有什么应用呢?表明了什么特性?
感觉除了是一个定理以外没有什么意义了,

答案

这个要分好几步来讲.总的来说Cayley-Hamilton定理是用来刻画A的极小多项式的性质的.
1.对任何n阶矩阵A都存在不超过n^2次的非零多项式f使得f(A)=0,因为任何n^2+1个n阶矩阵线性相关.
2.Cayley-Hamilton定理把A的极小多项式的次数上限从n^2降到了n,并且是构造性地给出了一个零化多项式.当然,极小多项式结构的最终确定需要有理标准型.
3.Cayley-Hamilton定理在交换环上成立,而此时不能使用任何基于相似变换的工具.
一旦找到了A的一个零化多项式,就能做很多事情了.举个例子来说,A的任何解析函数都可以表示成A的不超过n次的多项式,把无穷级数转化为了有限和.