已知函数f(x)=kx^2+(3+k)x+3是否存在实数k使得函数f(x)在[-1,4]上的最大值是4

题目

已知函数f(x)=kx^2+(3+k)x+3是否存在实数k使得函数f(x)在[-1,4]上的最大值是4

答案

f(x)=kx^2+(3+k)x+3=k[x+(k+3)/(2k)]²+3-(k+3)²/(4k²﹚
f（-1）=0,
f（4）=20k+15
∵3-(k+3)²/(4k²﹚≤3＜4
∴f（4）=20k+15=4
∴k=﹣11／20
但此时,f(x)=﹣11／20（x-49/22)²+3-(49/22)²,开口向下,49/22∈[-1,4]
∴函数在x=49/22取得最大值3-(49/22)²＜4 ,不合题意
∴不存在实数k使得函数f(x)在[-1,4]上的最大值是4