已知集合A={y,y=x^2-2x+3,x∈R},B={x,x>a},试证明:“a>2”是“B真包含于A”的一个充分非必要条件

题目

已知集合A={y,y=x^2-2x+3,x∈R},B={x,x>a},试证明:“a>2”是“B真包含于A”的一个充分非必要条件

答案

x∈R ,y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2≥2
∴A=[2,+∞)
B={x,x>a}=(a,+∞)
证明：
若 a>2时,B=(a,+∞)
任取x∈B,在x>a,
∵a>2∴x>2 ∴x∈A
根据子集的定义
∴B是A的子集
∵2∈A,2不属于B
∴B是A的真子集
∴B真包含于A
若“B真包含于A”成立
即B是A的真子集
则需a>2,或a=2
(∵a=2时,B=(2,+∞),符合题意）
不一定有a>2
∴:“a>2”是“B真包含于A”的一个充分非必要条件