高中向量和数列综合题,不难

题目

高中向量和数列综合题,不难
已知△ABC中,（1）若|AC|,|BC|,|AB|成等比数列,向量BA*BC,AB*AC,CA*CB成等比数列,求A.（2）若向量BC*(向量AB+AC)=0,且|AB+AC|=4,0

答案

|AC|,|BC|,|AB|成等比数列,向量BA*BC,AB*AC,CA*CB成等比数列这两个条件联合可知
cosB*cosC=cosA*cosA ①
|AC|,|BC|,|AB|成等比数列可知 bc=a^2,再根据正弦定理可知sinB*sinC=sinA*sinA ②
①- ②
可得cosA=2cosA*cosA-1可解得cosA=1(舍去)或cosA=-1/2,得A=120
向量BC*(向量AB+AC)=0可知AB=AC
|AB|=|AC|=|AB+AC|/2cosA/2=2/cosA/2
向量AB*AC=|AB|*|AC|cosA=8cosA/(cosA+1)
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