设AM是三角形ABC的边BC上的中线,任作一条直线,顺次交AB,AC,AM于点P,Q,N求证AB/AP,AM/AN,AC/AQ成等差数列

题目

设AM是三角形ABC的边BC上的中线,任作一条直线,顺次交AB,AC,AM于点P,Q,N求证AB/AP,AM/AN,AC/AQ成等差数列

答案

延长AM到D使MD=AM,连接BD,设AC=b,AB=c
三角形ABD中,AD^2=b^2+c^2+2bccosA（余弦定理）
三角形ABC中,BC^2=b^2+c^2-2bccosA
两式相加：
AD^2+BC^2=2（b^2+c^2）
AD=2AM BC=2BM
化简即：AB方+AC方=2(AM方+BM方）