设函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=0及直线x=1对称,且x∈[0,1]时,f(x)=x2,则f(−3/2)=_.

设函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=0及直线x=1对称,且x∈[0,1]时,f(x)=x2,则f(−3/2)=_.

题目
设函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=0及直线x=1对称,且x∈[0,1]时,f(x)=x2,则f(−
3
2
)
=______.
答案
∵y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=0及直线x=1对称,
∴f(-x)=f(x),f(1+x)=f(1-x),
f(−
3
2
)
=f(
3
2
)=f(1+
1
2
)=f(1−
1
2
)=f(
1
2
)

又x∈[0,1]时,f(x)=x2
f(
1
2
)=(
1
2
)
2
1
4

f(−
3
2
)
=
1
4

故答案为:
1
4
利用函数的对称性得到f(-x)=f(x),f(1+x)=f(1-x),然后将函数值转化到已知条件上即可.

函数的周期性.

本题主要考查函数对称性的应用,利用对称性将自变量进行转化是解决此类问题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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