sinx＋cosx=√2(√2/2sinx+√2/2cosx)=√2(sinxcos45+cosxsin45)=√2sin(x+45) 这个公式什么意思?

题目

sinx＋cosx=√2(√2/2sinx+√2/2cosx)=√2(sinxcos45+cosxsin45)=√2sin(x+45) 这个公式什么意思?

答案

sinx＋cosx
=√2(√2/2sinx+√2/2cosx) [提取√(1²+1²)=√2,使里面sinx,cosx的系数为同一个角45º的余弦和正弦]
=√2(sinxcos45º+cosxsin45º) [反用sin(a+b)=sinacosb+cosasinb的公式化简】
=√2sin(x+45º)
一般形式：
asinx+bcosx
=√(a²+b²)[a/√(a²+b²)*sinx+b/√(a²+b²)*cosx]
∵[a/√(a²+b²)]²+[b/√(a²+b²)]²=1
∴a/√(a²+b²)和 b/√(a²+b²) 分别是同一个角的余弦值和正弦值
令a/√(a²+b²)=cosφ,b/√(a²+b²) =sinφ
则
原式=√(a²+b²)[sinxcosφ+cosxsinφ]
=√(a²+b²)sin(x+φ)