函数在区间上有界则其一定有最大值、最小值吗?若没有,举一个反例

题目

函数在区间上有界则其一定有最大值、最小值吗?若没有,举一个反例

答案

闭区间上连续函数有界必存在最大最小值,这是最大最小值定理,随便找一本数学分析的书都有证明,但去掉连续或闭区间的条件就不一定了,第一个回答举了不为闭区间的反例.
下面举一个不连续的反例
考察函数
f(x)={ x ,当x为无理数
{ 0 ,当x为有理数
在[0,1]上没有最大值,在[-1,1]上最大值,最小值都没有.但有上界1和下界-1