若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=215,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,则球O的表面积为(  ) A.64π B.16π C.12π D.4π

若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=215,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,则球O的表面积为(  ) A.64π B.16π C.12π D.4π

题目
若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=2
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,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,则球O的表面积为(  )
A. 64π
B. 16π
C. 12π
D. 4π
答案
如图,三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,
∵AB=1,AC=2,∠BAC=60°,
∴BC=
3

∴∠ABC=90°.
∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=1,
∵SA⊥平面ABC,SA=2
15

∴球O的半径R=4,
∴球O的表面积S=4πR2=64π.
故选:A.
由三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,知BC,∠ABC=90°,可得△ABC截球O所得的圆O′的半径,利用SA⊥平面ABC,SA=2
15
,此能求出球O的半径,从而能求出球O的表面积.

棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的体积.

本题考查球的表面积的求法,合理地作出图形,数形结合求出球半径,是解题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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