已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（　　） A.233 B.433 C.23 D.833

题目

已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（　　）
A.

2 3

3

B.

4 3

3

C. 2

3

D.

8 3

3

答案

过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，
则有V四面体ABCD＝

1

3

×2×

1

2

×2×h＝

2

3

h，
当直径通过AB与CD的中点时，hmax＝2

22−12

＝2

3

，故Vmax＝

4 3

3

．
故选B．

四面体ABCD的体积的最大值，AB与CD是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出体积的最大值．

本题考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球的性质．

考点点评：本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力．