(x+m)^6 *(x+n)^6 的展开式中,x^8系数为0,x^7系数为9,求m,n的值.

题目

(x+m)^6 *(x+n)^6 的展开式中,x^8系数为0,x^7系数为9,求m,n的值.

答案

郭敦顒回答：
(x+m)^6 *(x+n)^6=[x²+（m+n）x+mn] ^6
=[x^4+（m+n）² x²+（mn ）²+2（m+n）x³+2（m+n）（mn）x+2（mn）x²]³
在等号右边中
x^8项是：
{3x^4[（m+n）^4x^4+4（mn）²x^4]+6x^4[（m+n）² x²•2（mn）x²+2（m+n）x³•2（m+n）（mn）x]+3[2（m+n）x³]² [（m+n）²x²+2（mn）x²]+3（mn）²}x^8
=[3（m+n）^4+12（mn）²+12（mn）（m+n）²+24（mn）（m+n）²
+12（m+n）^6+24（mn）²（m+n）^4+3（mn）²]x^8
=[3（m+n）^4+15（mn）²+36（mn）（m+n）²+12（m+n）^6
+24（mn）²（m+n）^4+3（mn）²]x^8.
x^7项是：
{6x^4[2（m+n）x³•（mn ）²+（m+n）² x²•2（m+n）（mn）x
+2（mn）x²•2（m+n）（mn）x]+3•2（m+n）x³[（m+n）^4x^4+4（mn）²x^4]}x^7
=[12（m+n）（mn）²+12（m+n）³（mn）+24（m+n）（mn）²+6（m+n）^5
+24（m+n）（mn）²]x^7
=[60（m+n）（mn）²+12（m+n）³（mn）+6（m+n）^5]x^7.
12（m+n）^6+3（m+n）^4+24（m+n）^4（mn）²+36（m+n）²（mn）
+15（mn）²=0 （1）
6（m+n）^5+12（m+n）³（mn）+60（m+n）（mn）²=9 （2）
解上面的6次联立方程可求出m与n的值.但具体解法并不容易.