已知函数f(x)=x^2+k|lnx-1|,g(x)=x|x-k|-2 ,其中0

题目

已知函数f(x)=x^2+k|lnx-1|,g(x)=x|x-k|-2 ,其中0

答案

（1）分别讨论x∈[e, +∞)及x∈（0, e)
　　求导：
　　x∈（0, e) 时f‘(x)=2x-k/x 先<0递减 x=根号下k/2（此处提及根号下k/2k/2必<e）为最小值
　　后>0 递增
　　x∈[e, +∞)时 f‘(x)=2x+k/x>0 递增

故f(x)无最大值 最小值为f(根号下k/2)=3k/2-k/2Ink/2




（2）

由于g(x)、f(x)为连续函数（可导 无断点）

只需证明定义域上g(x)极小值≤f(x)极小值

　　对 g(x)=x|x-k|-2求导
　　x∈（+∞, k) 时 g‘(x)=k-2x 先递增后递减
　　x∈[k, +∞) g‘(x)=2x-k>0


综上 x∈（-∞, k/2]时g(x)递增 x∈（k/2, +∞)时先递减后递增 极小值为g(k)=-2




　　结合x1x2定义域对k进行讨论
　　0<k≤2时 f(x)min=f(1)=1+k g(x)min=g(2)=2-2k 1+k≥2-2k 即k≥1/3 
　　2<k≤4时 f(x)min=f(根号下k/2)=3k/2-k/2Ink/2 g(x)min=g(k)=-2 

证3k/2-k/2Ink/2≥ -2 化k/2为x

建立函数h(x)=3x-xInx=x（3-Inx） x∈（1, 2] h(x)显然＞0

综上k∈[1/3,4]

计算可能有误 思路应该没错 LZ仔细算算看看~