一个很简单的微分中值定理运用题

题目

一个很简单的微分中值定理运用题
已知函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明：(1)存在ξ∈(0,1)使得f(ξ)=1-ξ；(2)存在两个不同的点η,ξ∈(0,1),使得f'(ξ)f'(η)=1.

答案

这里两问,ξ一般不一定是一个,
1.F(x)=f(x)-(1-x）,则该函数区间[0,1]上连续,而F(0)=-1,F(1)=1,由根的存在性定理,存在一点μ∈(0,1)使得,使得F(μ)=0,即：f(μ)=1-μ.
2.由拉格朗日中值定理：f(μ)-f(0)=f'(ξ)μ,ξ∈(0,μ）,f(1)-f(μ)=(1-μ)f'(η),η∈(μ,1）
即：1-μ=f'(ξ)μ,μ=(1-μ)f'(η),故存在两个不同的点η,ξ∈(0,1),使得f'(ξ)f'(η)=1.