若正四棱柱的侧面都是等边三角形,它的斜高为√3,求这个四棱锥的体积（在线等,

题目

若正四棱柱的侧面都是等边三角形,它的斜高为√3,求这个四棱锥的体积（在线等,

答案

挑出一个正三角形,斜高就是这个正三角形的高,所以它的边长=√3/sin60=2
正四棱锥底面是正方形,边长就是正三角形的边长2,正方形面积S=2*2=4
现在求四棱锥的高.从顶点往底面投影,因为是正四棱锥,所以投影的点落在正方形对角线交点O
设正方形一个顶点是A,四棱锥顶点P,
因为PO是投影下来的线,所以PO垂直底面正方形,PO是四棱锥的高,并得到一个直角三角形POA
OA是对角线一半=√2,PA是侧面正三角形边长=2,PO^2+OA^2=PA^2,得h=PO=√2
V=Sh/3=(4√2)/3