△ABC中,∠ACB＝90度,AC＝BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,问DE,AD,BE具有什么等量关系,并证明（分情况讨论）

题目

△ABC中,∠ACB＝90度,AC＝BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,问DE,AD,BE具有什么等量关系,并证明（分情况讨论）
你会有福抱滴～

答案

（1）当MN与线段AB不相交（可能与AB或BA的延长线相交）时,AD+BE=DE;
证明：AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,
所以,∠ADC=BEC=90度.
∠ACB=90度,
所以,∠ACD+∠ECB=∠ECB+∠EBC=90度,
所以,∠ACD=∠EBC,
AC=BC
所以,三角形ACD全等三角形BEC,
所以,DC=BE,AD=CE,
DE=DC+CE=AD+BE
所以,AD+BE=DE.
(2)当MN与线段AB有交点,且交点在AB中点与B点之间时,AD-BE=DE.
证明：AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,
所以,角ADE=角BEC=90度.
∠ACB=90度,
∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠CBE=90度,
∠ACD=∠CBE,AC=BC,
所以,三角形ACD全等于三角形BEC,
所以,CD=BE,CE=AD,
DE=CE-CD=AD-BE.
所以,AD-BE=DE.
(3)当MN与线段AB有交点,且交点在AB中点与A点之间时,BE-AD=DE.
证明：AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,
所以,角ADE=角BEC=90度.
∠ACB=90度,
∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠CBE=90度,
∠ACD=∠CBE,AC=BC,
所以,三角形ACD全等于三角形BEC,
所以,CD=BE,CE=AD,
DE=CD-CE=BE-AD.
所以,BE-AD=DE.