若y=ax^2-2a^2x+1在区间[-1/2,1/2]上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围

题目

若y=ax^2-2a^2x+1在区间[-1/2,1/2]上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围

答案

y=ax^2-2a^2x+1对应函数图像对称轴为x=a
(1)当a=0时,f(x)=1>0恒成立
(2)当a>0时分两种情况
0＜a＜1／2时
有f（x）min＝f（a）＝a＾3－2a＾3＋1＞0解得0＜a＜1／2
a≥1／2时
有f（x）min＝f（1／2）＝a／4－a＾2＋1＞0解得1／2≤a＜（1＋√65）／8
则由（2）知0＜a＜（1＋√65）／8
（3）当a＜0时f（x）min＝f（1／2）＝a／4－a＾2＋1＞0解得（1－√65）／8＜a＜0
综上：（1－√65）／8＜a＜（1＋√65）／8
计算不出错的话应该是这个结果,考到了二次函数在给定区间最值的取法以及恒成立问题