BD,CE是△ABC的两条中线,且BD=CE,求证△ABC是等腰三角形

题目

BD,CE是△ABC的两条中线,且BD=CE,求证△ABC是等腰三角形

答案

方法一：
过D作DF∥EC交BC的延长线于F.
∵E、D分别是AB、AC的中点,∴ED是△ABC的中位线,∴ED∥BC,∴ED∥CF.
∵DF∥EC、ED∥CF,∴CFDE是平行四边形,∴DF＝CE,而BD＝CE,∴DF＝BD,
∴∠BFD＝∠CBD.
∵DF∥EC,∴∠DFB＝∠ECB,∴∠CBD＝∠ECB,又BC＝CB、BD＝CE,
∴△BCD≌△CBE,∴CD＝BE,显然有：AB＝2BE、AC＝2CD,∴AB＝AC,
∴△ABC是等腰三角形.
方法二：
由斯特瓦德定理,有：BC^2×AE＋AC^2×BE－CE^2×AB＝AE×BE×AB.
∵AE＝BE＝AB/2,∴BC^2×AB/2＋AC^2×AB/2－CE^2×AB＝（AB/2）×（AB/2）×AB,
∴BC^2＋AC^2－2CE^2＝AB^2/2.······①
再由斯特瓦德定理,有：BC^2×AD＋AB^2×CD－BD^2×AC＝AD×CD×AC.
∵AD＝CD＝AC/2,∴BC^2×AC/2＋AB^2×AC/2－BD^2×AC＝（AC/2）×（AC/2）×AC,
∴BC^2＋AB^2－2BD^2＝AC^2/2.······②
∵BD＝CE,∴②－①,得：AB^2－AC^2＝AC^2/2－AB^2/2,∴（3/2）AB^2＝（3/2）AC^2,
∴AB＝AC,∴△ABC是等腰三角形.