y=x+|sin2x|确定函数单调区间

题目

y=x+|sin2x|确定函数单调区间
方法1
y=x+|sin2x|等价于
y=x+sin2x kπ≤x≤kπ+π/2
y=x-sin2x kπ+π/2≤x≤(k+1)π
对该曲线方程求导,得
y'=1+2cos2x kπ≤x≤kπ+π/2
y'=1-2cos2x kπ+π/2≤x≤(k+1)π
当y'>0时,该函数单调增,即
1+2cos2x>0 kπ≤x≤kπ+π/2
1-2cos2x>0 kπ+π/2≤x≤(k+1)π
即±cos2x>-1/2
在kπ≤x≤kπ+π/2时,当且仅当kπ≤x≤kπ+π/3时,
cos2x>cos2π/3,即cos2x>-1/2
kπ+π/2≤x≤(k+1)π时,当且仅当kπ+π/2≤x≤kπ+5π/6时,
cos2x-1/2,
因此y=x+|sin2x|单调增区间是[kπ,kπ+π/3]U[kπ+π/2,kπ+5π/6],
单调减区间是[kπ+π/3,kπ+π/2]U[kπ+5π/6,kπ+π]
方法2
有点小复杂.关键是y1=x和y2=|sin2x|的和函数判断单调性要用到求导.（函数y求导的y'就等于y的斜率）
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思路是把y分成两个部分考虑,y1=x肯定是单调递增的,直线斜率为1
而y2=|sin2x|周期为π/2,单个周期内形状是在x轴上方的一个弧线
于是只要考虑[0,π/2]内的情况就行了,其他全是重复的
在[0,π/2]内y2=sin2x,其中[0,π/4]内y2=sin2x是递增的,但是在[π/4,π/2]上y2=sin2x是递减的,其斜率一直在变化,所以y的增减情况无法直接判断.所以这里需要通过求三角函数斜率的方式判断y=y1+y2到底是递增还是递减
于是给y2=sin2x求导.y2的斜率k2=(sin2x)'=2*cos2x
所以y的斜率k就是y1的斜率1加上y2的斜率k2,
即k=1+2*cos2x,x的范围是[0,π/2]
经过简单计算可得到：
当x属于[0,π/3)时,k＞0,即y单调递增；
当x=π/3时,k=0（临界点）；
当x属于(π/3,π/2]时,k＜0,即y单调递减.
推广到R上：
当x属于[mπ/2,π/3+mπ/2]时,y单调递增；
当x属于[π/3+mπ/2,π/2+mπ/2]时,y单调递减.（这里区间开闭关系不大）
当然别忘了写上m属于Z（平时都是写k属于整数Z的,因为我前面k用来表示斜率了所以换用m）
为什么结果不一样,哪个对,为什么?

答案

下面用m的其实是把上面用k的那个区间给合并了