若函数f(x)=ax^2+20x+14(a>0)对任意实数t,在闭区间[t-1,t+1]上总存在两实数m,n,使得｜f(m)-f(n)｜>=8成立,则实数a的最小值?

题目

若函数f(x)=ax^2+20x+14(a>0)对任意实数t,在闭区间[t-1,t+1]上总存在两实数m,n,使得｜f(m)-f(n)｜>=8成立,则实数a的最小值?

答案

f(x)的图象是开口向上的抛物线,欲使在闭区间[t-1,t+1]上总存在两实数m,n,使得｜f(m)-f(n)｜>=8成立,只需t=-10/a时f(t+1)=f(t)≥8
即a(t+1)^2+20(t+1)+14-(at^2+20t+14)≥8
2at+a+20≥8,a≥8
所以a的最小值为8