已知三角形ABC的三边为a,b,c,所对角为A,B.C,G为三角形ABC重心,

题目

已知三角形ABC的三边为a,b,c,所对角为A,B.C,G为三角形ABC重心,
且a*向量GA+根号3*b*向量GB+根号3*c*向量GC=0向量
（1）求证：向量GA+向量GB+向量GC=0向量
（2）求角A

答案

(1)取BC中点为M,
则向量GB+GC=2GM
∵G是三角形ABC重心
∴GA=-2GM
∴向量GA+向量GB+向量GC
=-2GM+2GM=0向量
（2）
∵a*向量GA+√3*b*向量GB+√3*c*向量GC=0向量
两边同时除以a:
∴*向量GA+√3*b/a*向量GB+√3*c/a*向量GC=0向量
∴向量GB+向量GC=√3*b/a*向量GB+√3*c/a*向量GC=-GA
∵GB,GC不共线
∴√3b/a=1,√3c/a=1
∴a=√3b=√3c ,b=c
根据余弦定理：
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)
=(2b²-3b²)/(2b²)
=-1/2
∵A为三角形内角
∴A=120º
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