已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像过点A(2,4)且与x轴交于点B(x1,0）,C(x2,0),x1^2+x2^2=13,顶点的横坐

题目

已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像过点A(2,4)且与x轴交于点B(x1,0）,C(x2,0),x1^2+x2^2=13,顶点的横坐
已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像过点A(2,4)且与x轴交于点B(x1,0）,C(x2,0),x1^2+x2^2=13，顶点的横坐标为1/2
(1)求这个函数解析式
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在D，使S△ABC=2S△DBC？如果存在，求出满足条件的点D，如果不存在，说明理由

答案

由题知：
x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a;
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=(b/a)^2-2c/a=13 (1)
由于函数过A(2,4),得下式：
4=4a+2b+c (2)
定点的横坐标是1/2,故：
-b/(2a)=1/2 (3)
三个式子联立得：
a=-1,b=1,c=6
y=-x^2+x+6
2.由题意得三角形ABC和三角形DBC是同底,所以三角形面积之比就等于高之比,三角形ABC的高为4,所以三角形DBC的高就是2,2就是这个点在二次函数图像上所对应
的y值,所以可列方程2=-x^2+x+6和-2=-x^2+x+6
第1个方程解得x1=【（根下17）＋1】/2 x2=负 【（根下17）＋1】/2
第二个方程解得x3=【（根下33）＋1】/2 x4=负 【（根下33）＋1】/2