n阶矩阵A满足A^k=0,证明：A的特征值为0

题目

n阶矩阵A满足A^k=0,证明：A的特征值为0

答案

设a是特征值,对应的特征向量为x,即Ax=ax,左乘A得A^2x=aAx=a^2x,继续递推下去有
A^kx=a^kx,即a^k是A^k（=0）的特征值,因此a^k=0,a=0