已知三角形ABC中,根号3*tanAtanB-tanA-tanB=根号3

题目

已知三角形ABC中,根号3*tanAtanB-tanA-tanB=根号3
（1）求角C的大小
（2）设角A,B,C的对边依次为a,b,c,若c=2,且三角形ABC是锐角三角形,求a^2+b^2的取值范围

答案

1)
根号3*tanAtanB-tanA-tanB=根号3
tanA+tanB=根号3(tanAtanB-1)
tan(A+B) =(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
=根号3*(tanAtanB-1)/(1-tanAtanB)
=-根号3
A+B ∈（0,π）
A+B =120°
C=60°
2）根据余弦定理
CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=1/2
a^2+b^2-c^2=ab
设A=60+β B=60-β β属于（-30°,30°）
a/sinA=b/sinB=c/sinc=2/根号3/2=4根号3/3
a^2+b^2=(4根号3 sinA)²+(4根号3 sinB)²=16/3 （sin²A+sin²B）
=16/3 （1-cos2A+1-cos2B）/2
=8/3(2-cos(120+2β)-cos(120-2β))
=8/3(2-cos120cos2β+sin120sin2β-cos120cos2β-sin120sin2β)
=8/3(2-2cos120cos2β)
=16/3(1+cos2β)
cos2β属于（1/2,1]
所以1+cos2β∈（3/2,2]
a^2+b^2∈(8,32/3]