考试中

题目

考试中
1在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知3(b²+c²)=3a²+2bc.（1）若sinB=∝√2cosC.求tanC的大小（2）若a=2,△ABC的面积S=√2／2,且b＞c,求b.c
2已知函数f(x)=x²+2alnx (1)若函数f(x)的图像在（2,f(2)）处的切线斜率为1,求实数a的值.（2）在（1）的条件下,求函数f(x)的单调区间.
3已知函数f(x)=sin(2x+π／6)-cos(2x+π／3)+2cos²x (1)求f(π／12)的值 （2）求f(x)的最大值及相应x的值

答案

∵ 3(b²+c²)=3a²+2bc
∴3(b²+c²-a²)=2bc
∴ (b²+c²-a²)/2bc=1/3=cosA
∵(cosA)²+(sinA)²=1
∴(sinA)²=1-1/9=8/9
∴sinA=2√2/3
（1）sinB=√2cosC
∴ sin(A+C)=√2cosC
∴ sinAcosC+cosAsinC=√2cosC
∴ (2√2/3)cosC+(1/3)sinC=√2cosC
∴ (1/3)sinC=(√2/3)cosC
∴ tanC=sinC/cosC=√2
（2）S=(1/2)bcsinA=√2/2
∴ bc*(2√2/3)=√2
∴ bc=3/2 ①
由余弦定理
a²=b²+c²-2bccosA
∴ 4=b²+c²-2*(3/2)*(1/3)
∴ b²+c²=5 ②
∴ (b+c)²=b²+c²+2bc=8
(b-c)²=b²+c²-2bc=2
∴ b+c=2√2,b-c=√2 （∵b>c）
∴ b=2√2/3, c=√2/2

3.
f(x)=sin(2x+π/6)-cos(2x+π/3)+2cos²x
=(sin2xcosπ/6+cos2xsinπ/6)-(cos2xcosπ/3-sin2xsinπ/3)+(cos2x+1)
=√3/2sin2x+1/2cos2x-1/2cos2x+√3/2sin2x+cos2x+1
=√3sin2x+cos2x+1
=2(√3/2sin2x+1/2cos2x)+1
=2(sin2xcosπ/6+cos2xsinπ/6)+1
=2sin(2x+π/6)+1
所以(1)f(π/12)=2sinπ/3+1=√3+1.
(2)当2x+π/6=π/2+2kπ (k∈Z)时,即x=π/6+kπ ( k∈Z)时,
sin(2x+π/6)取得最大值1,从而f(x)取得最大值3