在三角形ABC中,∠A=60°,△ABC的内切圆O切BC边与点D,BD=2,DC=3,则△ABC的面积是?求详解

题目

在三角形ABC中,∠A=60°,△ABC的内切圆O切BC边与点D,BD=2,DC=3,则△ABC的面积是?求详解

答案

设内切圆与AC交于点E,与AB交于点F
连结OD、OE、OF,有OE⊥AC,OD⊥CB,OF⊥AB,OE=OD=OF,∠EAO=∠FAO=1/2∠A=30°,则AE=AF,CE=CD=3,BF=BD=2,OE=OD=OF=（根号3/3）AF
S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△COA=1/2*AB*OF+1/2*BC*OD+1/2*AC*OE=1/2*（根号3/3）*AF*（AB+BC+AC)
设AE=AF=x
则AC=AE+EC=x+3,AB=AF+FB=x+2,CB=CD+BD=3+2=5
∵∠A=60°
∴cos∠A=（AB²+AC²-BC²）/（2*AB*AC）
即cos60°=（（x+2）²+（x+3）²-5²）/（2*（x+2）*（x+3））
化简为：x²+5x-18=0
解得x=（-5±根号97）/2
∵x>0
∴x=（根号97-5）/2
S△ABC=1/2*（根号3/3）*AF*（AB+BC+AC)=1/2*（根号3/3）*AF*（x+2+x+3+5)=1/2*（根号3/3）*x*（2x+10)=1/2*（根号3/3）*（2x²+10x）
将x=（根号97-5）/2代入此式得
S△ABC=13根号3/3