一道数论题

题目

一道数论题
(a) 绝对值 |n^2 - 4| 是一个质数,求 n 的所有整数解.
(b) 如果 a 和 n 都是正整数,n>=2,且 a^n - 1 是一个正的质数
证明:a = 2

答案

(a)
|n^2-4|=|(n-2)(n+2)|=|n-2||n+2|
结果是一个质数
那么,|n-2| , |n+2| 其中有一个为1
所以n为1,3,-1,-3
(b)
当n>=2时,
a^n-1=(a-1)[a^(n-1)+a^(n-2)+..+1]
上面这个式子的证明仅需把右面展开即可.
右边是质数.两个因式应该有一个因子为1.
又因为n>=2,因此a^(n-1)>1
只能a-1=1,
所以a=2