求函数f(x,y,z)=xyz在条件x^2+y^2+z^2=16下的极值

题目

求函数f(x,y,z)=xyz在条件x^2+y^2+z^2=16下的极值

答案

利用拉格朗日求导法,建立拉格朗日函数L=xyz-λ(x^2+y^2+z^2-16),L分别对x,y,z求导可以得到yz-2λx=0,xz-2λy=0,xy-2λz=0,分别用x,y,z表示λ,可以得到x^2=y^2=z^2,从而x^2=y^2=z^2=16/3,x=y=z=4/3^(1/2).