问一个抽象代数的问题

题目

问一个抽象代数的问题
问有没有存在这样的一个环,使得环中的2个元素,r,s,r,s都不等于零,但是r^2=0,s^2=0,并且满足（r+s）^2不等于0

答案

可能的.
考虑全体2×2矩阵组成的环：
0 = (0矩阵),r = (右上角1,其余0),s = (左下角1,其余0) ∈ R
+和*就是矩阵的加法和乘法.
r² = 0,s² = 0.
但rs = (左上角1,其余0),sr = (右下角1,其余0).
因此(r+s)² = rs + sr ≠ 0.