设f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)可导,证明:在(a,b)内至少存在一点ξ,使bf(b)-af(a)b-a=f(ξ)+ξf′(ξ).
题目
设f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)可导,
证明:在(a,b)内至少存在一点ξ,使
答案
构造辅助函数:F(x)=xf(x),
则:F(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,
从而F(x)满足拉格朗日中值定理,
则:在(a,b)内至少存在一点ξ,
使得:
=F′(ξ),
而:F′(x)=f(x)+xf′(x),
∴
=f(ξ)+ξf′(ξ),
证毕.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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