已知椭圆的焦点为F1(-6,0),F2(6,0),且该椭圆过点P(5,2).(1)求椭圆的标准方程(2)若椭圆上的点M(x0,y0)满足MF1⊥MF2,求y0的值.
题目
已知椭圆的焦点为F1(-6,0),F2(6,0),且该椭圆过点P(5,2).
(1)求椭圆的标准方程
(2)若椭圆上的点M(x0,y0)满足MF1⊥MF2,求y0的值.
答案
(1)依题意,设所求椭圆方程为
+=1(a>b>0),其半焦距c=6.
∵点P(5,2)在椭圆上,∴2a=|PF
1|+|PF
2|=
+=
6.
∴a=
3,从而b
2=a
2-c
2=9.
故所求椭圆的标准方程是
+=1.
(2)由MF
1⊥MF
2得,
∴
•=(-6-x
0,-y
0)•(6-x
0,-y
0)=
-36+=0,
即x
o2=36-y
02,代入椭圆方程得:
y
o2=
,
故 y
0=±
.
(1)设所求椭圆方程为
+=1(a>b>0),其半焦距c=6.由于点P(5,2)在椭圆上,利用椭圆的定义可得2a=|PF
1|+|PF
2|,再利用b
2=a
2-c
2即可得出.
(2)由MF
1⊥MF
2⇔
•=0,并结合椭圆的方程即可得出.
直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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