设有两个命题: 命题p:不等式|x-1|+|x-3|>a对一切实数x都成立; 命题q:已知函数f(x)=mx3+nx2的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线2x+y=1平行,且f(x)在[a,a+1
题目
设有两个命题:
命题p:不等式|x-1|+|x-3|>a对一切实数x都成立;
命题q:已知函数f(x)=mx3+nx2的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线2x+y=1平行,且f(x)在[a,a+1]上单调递减.
若命题“p或q“为真,求实数a的取值范围.
答案
令f(x)=|x-1|+|x-3|,
则f(x)=|x-1|+|x-3|≥|1-x+x-3|=2,
即f(x)
min=2,
∵命题p:不等式|x-1|+|x-3|>a对一切实数x都成立,
∴a<f(x)
min=2.
又命题q:已知函数f(x)=mx
3+nx
2的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线2x+y=1平行,
∴f(-1)=-m+n=2①
f′(-1)=3m(-1)
2+2n(-1)=-2,即3m-2n=-2②
由①②得:m=2,n=4.
∴f(x)=2x
3+4x
2,
∴f′(x)=6x
2+8x=2x(3x+4),
∴当-
≤x≤0时,f′(x)≤0,
∴f(x)在[-
,0]上单调递减.
∵f(x)=2x
3+4x
2在[a,a+1]上单调递减,
∴
,解得-
≤a≤-1.
∵“p或q“为真,[-
,0]⊂(-∞,2).
∴a<2.
利用绝对值不等式的几何意义可求得命题p真时a的取值范围,由导数的几何意义可求得f(x)的解析式,f(x)在[a,a+1]上单调递减可求得实数a的取值范围,再由“p或q“为真即可求得答案.
绝对值不等式的解法;命题的真假判断与应用;利用导数研究曲线上某点切线方程.
本题考查绝对值不等式的解法,考查利用导数研究曲线上某点切线方程,考查命题的真假判断与应用,求得命题p真与命题q真时实数a的取值范围是关键,属于中档题.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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