在直三棱柱ABC—A‘B‘C‘中,AC=3,AB=5,BC=4,点D是AB的中点.（1）求证：AC的中点//平面CDB‘

题目

在直三棱柱ABC—A‘B‘C‘中,AC=3,AB=5,BC=4,点D是AB的中点.（1）求证：AC的中点//平面CDB‘
在直三棱柱ABC—A‘B‘C‘中,AC=3,AB=5,BC=4,点D是AB的中点.
（1）求证：AC‘中点//平面CDB‘
（2）求证：AC垂直BC‘

答案

直三棱柱的性质,三条棱平行且与上下两面垂直,上下两三角形全等；
一、找出A'B'的中点D‘,连接C'D',AD';
不难看出AD'//DB';C'D'//CD;所以三角形AC'D'与三角形CDB'平行（两相交直线平行于另一平面的两相交直线）；
所以AC'//平面CDB’；（AC‘在平面AC’D‘上）；
二、由AC=3,AB=5,BC=4;不难看出角ACB=90度,即AC垂直BC；
又知三角形ABC垂直平面BCC'B’, （直三棱柱的性质）
所以AC垂直平面BCC'B‘;
所以AC垂直BC'; (BC’在平面BCC'B'上）