如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC=9，BC=12，AB=15，AA1=12，点D是AB的中点． （1）求证：AC⊥B1C （2）求证：AC1∥平面CDB1．

题目

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AC=9，BC=12，AB=15，AA₁=12，点D是AB的中点．

（1）求证：AC⊥B₁C
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

答案

（1）∵C₁C⊥平面ABC，AC⊂面ABC，∴C₁C⊥AC．
∵AC=9，BC=12，AB=15，∴AC⊥BC． 又 BC∩C₁C=C，
∴AC⊥平面BCC₁B₁，而B₁C⊂平面BCC₁B₁，∴AC⊥B₁C．
（2）连接BC₁交B₁C于O点，连接OD，
∵O，D分别为BC₁，AB的中点，
∴OD∥AC₁，又OD⊂平面CDB₁，AC₁⊄平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．