梯形abcd中,ab//cd,ad 垂直于cd,ac=ab,∠dac=30度,点e,f是梯形外两点,且∠eab=

题目

梯形abcd中,ab//cd,ad 垂直于cd,ac=ab,∠dac=30度,点e,f是梯形外两点,且∠eab=
∠fcb,∠abc=∠fbe,∠ceb=30度,若ce=5 bf=4 求ae的长

答案

（1）证明：∵梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥CD,
∴∠DAB=90°,且∠DAC=30°,
∴∠BAC=60°．
∵AB=AC,
∴△ABC为等边三角形．
∴AB=BC,
又∵∠ABC=∠FBE,
∴∠ABE=∠CBF,
在△ABE和△CBF中 {∠EAB=∠FCBAB=CB∠ABE=∠CBF
∴△ABE≌△CBF,
∴BE=BF；
（2）连接EF．
由（1）知△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=60°．
又∵∠ABC=∠FBE,
∴∠FBE=60°,
∵BE=BF,
∴△EBF为等边三角形,
∴∠BEF=60°,EF=BF,
∵∠CEB=30°,
∴∠CEF=90°,
∴在Rt△CEF中,CF2=CE2+EF2=CE2+BF2,
∵CE=5,BF=4,
∴CF= 41．
又由（1）△ABE≌△CBF知,AE=CF,
∴AE= 41．