设a大于b大于0,则a^2+b^2小于等于1是“a+b小于等于ab+1”的什么命题

题目

设a大于b大于0,则a^2+b^2小于等于1是“a+b小于等于ab+1”的什么命题

答案

a和b都大于0
而a^2+b^2≤1
那么显然a≤1,b≤1
故a-1≤0,1-b≥0
所以
(a+b)-(ab+1)
=(a-1)(1-b)≤0
于是a+b≤ ab+1
即“a^2+b^2小于等于1”是“a+b小于等于ab+1”的充分条件
但是由a+b≤ ab+1
即(a-1)(1-b)≤0
也可能得到a-1≥0,1-b≤0
那么a≥1,b≥1
显然a^2+b^2>1
所以不能由“a+b≤ ab+1”得到“a^2+b^2小于等于1”
因此
“a^2+b^2小于等于1”是“a+b小于等于ab+1”的充分非必要条件