如图,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF. (1)求证:BF=2AE; (2)若CD=2,求AD的长.
题目
如图,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/91ef76c6a7efce1b72f2667bac51f3deb58f65a2.jpg)
(1)求证:BF=2AE;
(2)若CD=
,求AD的长.
答案
(1)证明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴AD=BD,
∵BE⊥AC,AD⊥BC
∴∠CAD+∠ACD=90°,
![作业帮](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/71cf3bc79f3df8dcf5ce2120ce11728b4610288b.jpg)
∠CBE+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠CBE,
在△ADC和△BDF中,
| ∠CAD=∠CBE | AD=BD | ∠ADC=∠BDF=90° |
| |
,
∴△ADC≌△BDF(ASA),
∴BF=AC,
∵AB=BC,BE⊥AC,
∴AC=2AE,
∴BF=2AE;
(2) ∵△ADC≌△BDF,
∴DF=CD=
,
在Rt△CDF中,CF=
=
=2,
∵BE⊥AC,AE=EC,
∴AF=CF=2,
∴AD=AF+DF=2+
.
(1)先判定出△ABD是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD,再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE,然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等,根据全等三角形对应边相等可得BF=AC,再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AE,从而得证;
(2)根据全等三角形对应边相等可得DF=CD,然后利用勾股定理列式求出CF,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF,然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解.
全等三角形的判定与性质;勾股定理.
本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,勾股定理的应用,以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质,熟记各性质并准确识图是解题的关键.
举一反三
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