三棱锥P-ABC内接于球O,若PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=a,则球心O到面ABC的距离为（ ）

题目

三棱锥P-ABC内接于球O,若PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=a,则球心O到面ABC的距离为（ ）
答案为六分之根号三

答案

三棱锥P-ABC内接于球O,则三侧面为等腰直角三角形,而底面为边长为√2的正三角形,从P作PH⊥平面ABC,侧棱的射影为AH,AB=√2a,
AH=√3/2*（√2a）*2/3=√6a/3,PH=√[a^2-(√6a/3)^2]=√3a/3,在平面PHA上作PA有垂直平分线,交PH于O,O就是外接球球心,则PO=AO=R,R为球的半径,OH为球心至底面ABC的距离,设OH=x,x^2+(√6a/3)^2=(√3a/3+x)^2,(AH>PH,球心在棱锥之外,故是加x,非减x）,
∴x=√3a/6.把空间几何转变为平面几何来解,
球心O到面ABC的距离为√3a/6.