斜三棱柱ABC-A′B′C′中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为 b,侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角,求此三棱柱的侧面积和体积.

斜三棱柱ABC-A′B′C′中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为 b,侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角,求此三棱柱的侧面积和体积.

题目
斜三棱柱ABC-A′B′C′中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为 b,侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角,求此三棱柱的侧面积和体积.
答案
(1)∵侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角,
∴三棱柱的三个侧面中,四边形ABBA和ACCA是有一个角是45°,相邻两边长分别为a,b的平行四边形,第三个侧面是边长分别为a,b的矩形.
s=2absib45°+ab=(
2
+1)ab

(2)过A1作A1O垂直于底面ABC,交底面ABC于O点,作A1D⊥AB,交AB于D点,连接DO,由题意,则
AD=
2
b
2
,A1D=
2
b
2
,∴AO=
6
b
3
,A1O=
3
b
3

∴V=
1
2
×
3
a
2
a
3
b
3
=
1
4
a2b
(1)先判断斜三棱柱ABC-A′B′C′的三个侧面的形状,分别求出面积再相加,即为斜三棱柱的侧面积.
(2)斜三棱柱的体积等于底面积乘高,因为底面三角形是边长为a的正三角形,面积易求,所以只需求出高即可,利用所给线线角的大小即可求出.

棱柱、棱锥、棱台的体积;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.

本题主要考查了斜三棱柱的侧面积与体积的求法,属于立体几何的基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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