圆锥曲线求轨迹问题

题目

圆锥曲线求轨迹问题
已知三点A（-4,0）B（4,0）F（8,0）,直线l的方程为x=2,过点F作互相垂直的两条直线,分别交l于点M、N,直线AM、BN交于P点,求P点轨迹方程.
我直接设AM斜率为k,然后表示出所有相关直线的方程,用含k的公式表示P点坐标,d再用xy表示k,但是x是k的二次方程,y是含k的二次与一次方程,最后不知道怎么解.求高人指点.如果方法有误请说明理由,正确解法尽量详细,谢谢!

答案

可设动点P(x,y).又由题设可设M(2,m),N(2,n)
[1]
∵三点A,M,P共线,
∴-4m+2y-mx+4y=0
∴m=6y/(x+4)
同理,由B,N,P三点共线可得
n=2y/(4-x)
即有：
m=6y/(x+4)
n=2y/(4-x)
[2]
由FM⊥FN,可得
mn=-36
综上,消去参数m,n,可得轨迹方程：
(x²/16)-(y²/48)=1 (x≠±4)