在四棱锥P-ABCD中,地面ABCD是一个直角梯形,∠BAD=90°,AD平行BC,AB=BC=a,AD=

题目

在四棱锥P-ABCD中,地面ABCD是一个直角梯形,∠BAD=90°,AD平行BC,AB=BC=a,AD=
若AE垂直PD,E为垂足.求证：BE⊥PD.求异面直线AE与CD所成的余弦值.

答案

这个题目做过的
LZ：题目还差“AD=2a,且PA垂直平面ABCD,PD与底面成30度角”这些已知条件 !
(1)证明：
∵ABCD是直角梯形 且AB⊥AD
又∵PA⊥AB
∴AB⊥面PAD
∴AB⊥PD
又∵AE⊥PD
∴PD⊥面ABE
∴BE⊥PD
在平面PCD上作EF//CD交PC于F连结AF因为AP⊥平面ABCD
角PDA=30°AD=2a
所以AE=AD/2=a
作CG⊥AD
则：GD=2a-a=a
CD=√2a
PA=2a/√3
PD=4a/√3
PE=√3a/3
又由EF/CD=PE/PD可知：EF=√2a/4
再连结AC
AC=√2a
PC=√30a/3
有：PC^2+CD^2=16a^2/3,PD^2=16a^2/3
△PCD是直角三角形
PCD=90°
cos角CPA=PA/PC=√10/5
PF=PC/4=√30a/12
在三角形APF中根据余弦定理
AF^2=AP^2+PF^2-2*AP*PF*cos角APC
所以cos角AEF=1/(2√2)= √2/4
角AEF=arcos(√2/4)
由于EF//CD
所以EF与AE的成角就是CD与AE的成角
所以异面直线AE与CD所成角的余弦值是√2/4