当K为何值时,曲线xy+y+(K-5)x+2=0和直线x-y-k=0的交点在第一象限

题目

当K为何值时,曲线xy+y+(K-5)x+2=0和直线x-y-k=0的交点在第一象限

答案

xy + y + (k - 5)x + 2 = 0 (1)
x - y - k = 0 (2)
由(2)式得 y = x - k,代入(1)式得：
x(x - k) + (x - k) + (k - 5)x + 2 = 0
x² - 4x - k + 2 = 0
x = 2 ± √(2 + k),k ≥ -2
y = 2 - k ± √(2 + k)
交点在第一象限,所以
x = 2 ± √(2 + k) > 0
y = 2 - k ± √(2 + k) > 0
因为
2 + √(2 + k) ≥ 2 - √(2 + k)
2 - k + √(2 + k) ≥ 2 - k - √(2 + k)
所以只要
2 - √(2 + k) > 0
2 - k - √(2 + k) > 0
=>
k ≥ -2
2² > 2 + k
(2 - k)² > 2 + k
=>
k ≥ -2
k < 2
k < (5 - √17)/2 或 k > (5 + √17)/2
=>
-2 < k < (5 - √17)/2