求证：a＞0时,y=ax^2+bx+c最小值为(4ac-b^2)/4a.

题目

求证：a＞0时,y=ax^2+bx+c最小值为(4ac-b^2)/4a.

答案

证明一
y=ax^2+bx+c
y=a(x+b/(2a))^2+(4ac-b^2)/(4a)
y-(4ac-b^2)/(4a)=a(x+b/(2a))^2
x=-b/(2a) y=(4ac-b^2)/(4a) 是抛物线的顶点
a>0时,抛物线开口向上
所有y值都大于顶点
最小值为(4ac-b^2)/(4a)
证明二
y'=2ax+b
y'=0
x=-b/(2a) y有极值 只有一个极值此极值为最值
y''=2a>0
x=-b/(2a)时 y有最小值
最小值为a(-b/(2a)^2+b(-b/(2a)+c=(4ac-b^2)/(4a)