已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e=根号2分之1,右准线方程为x=2.

题目

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e=根号2分之1,右准线方程为x=2.
过点F1的直线L与该椭圆交于M,N两点,且向量F2M与向量F2N的合的模为3分之2倍根号26,求L的方程.

答案

（1）直线平行于y轴时,|MF2+NF2|=6/根号2,不符合
（2）设直线方程为y=k(x+1),M(x1,y1) N(x2,y2)且已知a^2=2,b^2=1
联立直线方程与椭圆方程得 （2k^2+1)x^2+4K^2x+2(k^2-1)=0
x1+x2=(-4k^2)/(2k^2+1) x1x2=2(k^2-1)/(2k^2+1) (1)式
|MF2+NF2|=|MF2+MF1+NF2+NF1-MF1-NF1|=|4a-MN|=2根号26/3 （2）式
又因|MN|^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(k^2+1)(x1-x2)^2=(k^2+1)[(x1+x2)^2-4(x1x2)] (3)式
将（1）(3)式带入（2）式即可解的k值