已知整数a,b,a-b都不是3的倍数,试证a^3+b^3是9的倍数

题目

已知整数a,b,a-b都不是3的倍数,试证a^3+b^3是9的倍数

答案

因为整数a,b,a-b都不是3的倍数,所以可以设：a = 3m + 1,b=3n + 2,(m,n为整数）（这里设的意思就是a除以3余1,b除以3余2,他们的余数不可能相等,因为如果余数相等,则a-b就是3的倍数.当然也可设a除以3余2,b除以3余1,但因为题目中的式子是对称的,所以结果是一样的）
a^3 + b^3=（a + b)(a^2 - ab + b^2）
＝（3m + 3n + 3)[(3m + 1)^2 - (3m + 1)(3n + 2) + (3n + 2)^2]
= 3(m + n + 1)[(9m^2 + 6m + 1) - (9mn + 6m + 3n +2) + (9n^2 + 12n + 4)]
= 3(m + n + 1)(9m^2 - 9mn + 9n^2 + 9n + 3)
= 9(m + n + 1)(3m^2 - 3mn + 3n^2 + 3n + 1)
因为(m + n + 1)与(3m^2 - 3mn + 3n^2 + 3n + 1)都是整数,所以该式可被9整除.即a^3+b^3是9的倍数