在下列条件下求函数f(x)的解析式

题目

在下列条件下求函数f(x)的解析式
(1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)－2f(x－1)＝2x＋17
(2)已知f(x－y)＝f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)对一切实数x、y都成立,且f(0)＝1
(3)已知等式f(x＋1/x)＝(x^3)＋(1/x^3)

答案

(1)
一次函数
f(x)=kx+b
f(x+1)=k(x+1)+b=kx+(k+b)
f(x-1)=k(x-1)+b=kx+(-k+b)
所以3[kx+(k+b)]-2[kx+(-k+b)]=2x+17
kx+(5k+b)=2x+17
所以k=2,5k+b=17
b=7
所以f(x)=2x+7
(2)
f(x-y)=f(x)+y(2x-y+1)
令x=0,x-y=-y
所以f(-y)=f(0)+y(2*0-y+1)=1+y(-y+1)=-y^2+y+1
令x=-y,则y=-x
所以f(x)=-(-x)^2+(-x)+1
即f(x)=-x^2-x+1
(3)
令a=x+1/x
则a^2=x^2+2+1/x^2
x^2+1/x^2=a^2-2
x^3+1/x^3=(x+1/x)(x^2-x*1/x+1/x^2)=(x+1/x)(x^2-1+1/x^2)=a(a^2-2-1)=a^3-3a
所以f(a)=a^3-3a
所以f(x)=x^3-3x