已知a>0,函数f(x)=x^3-ax在[1,正无穷]上是单调递增函数,求实数a的取值范围

题目

已知a>0,函数f(x)=x^3-ax在[1,正无穷]上是单调递增函数,求实数a的取值范围

答案

这道题要运用求导和不等式恒成立综合分析
对f(x)求导=3x^2-a
那么看题目,函数在(1,正无穷) 上单调递增的充要条件是
其导函数的值在(1,正无穷) 上恒大于等于0(但不能一直为0,这种情况显然可以排除)
那么就有3x^2-a大于等于0在(1,正无穷) 上恒成立
分离参数a,就得到a小于等于3x^2在(1,正无穷) 上恒成立
那么要恒成立,a就要小于等于3x^2在(1,正无穷) 上的最小值（或最小极限值）
可知3x^2在x=1时最小,那么知a要小于等于3,又结合题目a>0
最后结论：0