在黑板上写上1,2,…,2003这2003个自然数,只要黑板上还有两个或两个以上的数就擦去其中的任意两个数a,b,并写上a-b（其中a≥b）,问最后黑板上剩下的是奇数还是偶数

题目

在黑板上写上1,2,…,2003这2003个自然数,只要黑板上还有两个或两个以上的数就擦去其中的任意两个数a,b,并写上a-b（其中a≥b）,问最后黑板上剩下的是奇数还是偶数

答案

偶数
在1,2,…,2003这2003个自然数中有偶数1001个、奇数1002个
①假设擦去其中的任意两个数a,b都为偶数时,得到的a-b（其中a≥b）为偶,当原来的偶数擦完时（此时黑板上还有1个原来的偶数）写上了500个偶数,这样黑板上有偶数501个,我们还是先擦偶数这样我们又得到新的偶数250个,此时还有251个偶数,这样类推下去依次出现偶数：126个、63个、32个、16个、8个、4个、2个、1个,现在就只有1个偶数和1002个奇数,此时我们擦去奇数,得到的a-b也为偶,当1002个奇数擦完,剩下501个偶数,加上前面剩下1个共502个偶数,用同样的方法可以看出最后剩下的是偶数
②假设擦去其中的任意两个数a,b都为偶数时,得到的a-b（其中a≥b）为偶,推理方法同上,最后得到偶数
③假设擦去其中的任意两个数a,b中一奇一偶是,得到的a-b（其中a≥b）为奇,当原有的数擦完时（还有1个奇数）得到1001个奇数,这样共1002个奇数,推理同上可以得到最后为偶数.